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Fonctions linéaires

Correction - Exercice corrigé n°08


08 - \({f} :x\mapsto ax\)
Calculons \(f(1)\):
\begin{align}
f(1) & = a \times 1 \\
& = \color{fuchsia}{a}
\end{align}

Calculons \({{\alpha.f(x_1)+\beta.f(x_2)}\over{\alpha.x_1+\beta.x_2}}\):

On a: 
\({{f(x_1)}=a\times x_1=\color{fuchsia}{a.x_1}}\) et \({f({x_2})=a\times x_2=\color{fuchsia}{a.x_2}}\)

D'où:
\begin{align}
{{\alpha.f(x_1)+\beta.f(x_2)}\over{\alpha.x_1+\beta.x_2}} & = {{\alpha.\color{fuchsia}{(a.x_1)}+\beta.\color{fuchsia}{(a.x_2)}}\over{\alpha.x_1+\beta.x_2}} \\
& = {{\alpha.a.x_1+\beta.a.x_2}\over{\alpha.x_1+\beta.x_2}} \\
& = {a(\color{blue}{{\alpha.x_1+\beta.x_2}})\over \color{blue}{{\alpha.x_1+\beta.x_2}}} \\
& = \color{fuchsia}{a}
\end{align}
Donc: 
\[{{\alpha.f(x_1)+\beta.f(x_2)}\over{\alpha.x_1+\beta.x_2}}=f(1)=\color{fuchsia}{a}\]

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