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## 1ère année secondaire

### Activités numériques I

#### Correction - Exercice corrigé n°01

01 -
a) Calculer le PGCD($$84$$,$$48$$)
Méthode 1 :
On décompose en facteur premier :

$$84$$$$|$$$$2$$
$$42$$$$|$$$$2$$
$$21$$$$|$$$$3$$
$$0$$$$7$$$$|$$$$7$$
$$0$$$$1$$$$|$$

Alors $$84$$$$=$$$$2\times2\times3\times7$$
D’où $$84$$$$=$$$$2^2$$$$\times3\times7$$

$$48$$$$|$$$$2$$
$$24$$$$|$$$$2$$
$$12$$$$|$$$$2$$
$$0$$$$6$$$$|$$$$2$$
$$0$$$$3$$$$|$$$$3$$
$$0$$$$1$$$$|$$

Alors $$48$$$$=$$$$2\times2\times2\times2\times3$$
D’où $$48$$$$=$$$$2^4$$$$\times3$$

Donc :
$$84$$$$=$$$$2^2$$$$\times3\times7$$
$$48$$$$=$$$$2^4$$$$\times3$$

Conclusion : le PGCD($$84$$$$48$$)$$=$$$$2^2$$$$\times3$$$$=$$$$4$$$$\times3$$$$=$$$$12$$

Méthode 2 :
On utilise l'algorithme d'Euclide :

$$84=$$ ? $$\times$$$$48$$$$+$$ ?
$$84=$$ $$1$$ $$\times$$$$48$$$$+$$$$36$$

$$48=$$ ? $$\times$$$$36$$$$+$$ ?
$$48=$$ $$1$$ $$\times$$$$36$$$$+$$$$12$$

$$36=$$ ? $$\times$$$$12$$$$+$$ ?
$$36=$$ $$3$$ $$\times$$$$12$$$$+$$$$0$$

Et puisque le dernier reste non nul est $$12$$
Donc : le PGCD($$84$$$$48$$)$$=$$$$12$$

b) Calculer le PGCD($$532$$,$$840$$)
Méthode 1 :
On décompose en facteur premier :

$$532$$$$|$$$$2$$
$$266$$$$|$$$$2$$
$$133$$$$|$$$$7$$
$$0$$$$19$$$$|$$$$19$$
$$00$$$$1$$$$|$$

Alors $$532$$$$=$$$$2\times2\times7\times19$$
D’où $$532$$$$=$$$$2^2$$$$\times7\times19$$

$$840$$$$|$$$$2$$
$$420$$$$|$$$$2$$
$$210$$$$|$$$$2$$
$$105$$$$|$$$$3$$
$$0$$$$35$$$$|$$$$5$$
$$00$$$$7$$$$|$$$$7$$
$$00$$$$1$$$$|$$

Alors $$840$$$$=$$$$2\times2\times2\times3\times5\times7$$
D’où $$840$$$$=$$$$2^3$$$$\times3\times5\times7$$

Donc :
$$532$$$$=$$$$2^2$$$$\times7\times19$$
$$840$$$$=$$$$2^3$$$$\times3\times5\times7$$

Conclusion : le PGCD($$532$$$$840$$)$$=$$$$2^2$$$$\times7$$$$=$$$$4$$$$\times7$$$$=$$$$28$$

Méthode 2 :
On utilise l'algorithme d'Euclide :

$$840=$$ ? $$\times$$$$532$$$$+$$ ?
$$840=$$ $$1$$ $$\times$$$$532$$$$+$$$$308$$

$$532=$$ ? $$\times$$$$308$$$$+$$ ?
$$532=$$ $$1$$ $$\times$$$$308$$$$+$$$$224$$

$$308=$$ ? $$\times$$$$224$$$$+$$ ?
$$308=$$ $$1$$ $$\times$$$$224$$$$+$$$$84$$

$$224=$$ ? $$\times$$$$84$$$$+$$ ?
$$224=$$ $$2$$ $$\times$$$$84$$$$+$$$$56$$

$$84$$ ? $$\times$$$$56$$$$+$$ ?
$$84$$ $$1$$ $$\times$$$$56$$$$+$$$$28$$

$$56$$ ? $$\times$$$$28$$$$+$$ ?
$$56$$ $$2$$ $$\times$$$$28$$$$+$$$$0$$

Et puisque le dernier reste non nul est $$28$$
Donc le PGCD($$532$$$$840$$)$$=$$$$28$$

c) Calculer le PGCD($$12$$,$$57$$)
Méthode 1 :
On décompose en facteur premier :

$$12$$$$|$$$$2$$
$$0$$$$6$$$$|$$$$2$$
$$0$$$$3$$$$|$$$$3$$
$$0$$$$1$$$$|$$

Alors $$12$$$$=$$$$2\times2\times3$$
D’où $$12$$$$=$$$$2^2$$$$\times3$$

$$57$$$$|$$$$3$$
$$19$$$$|$$$$19$$
$$0$$$$1$$$$|$$

D’où $$57$$$$=$$$$\times3\times19$$

Donc :
$$12$$$$=$$$$2^2$$$$\times3$$
$$57$$$$=$$$$3\times19$$

Conclusion : le PGCD($$12$$$$57$$)$$=$$$$3$$

Méthode 2 :
On utilise l'algorithme d'Euclide :

$$57=$$ ? $$\times$$$$12$$$$+$$ ?
$$57=$$ $$4$$ $$\times$$$$12$$$$+$$$$9$$

$$12=$$ ? $$\times$$$$9$$$$+$$ ?
$$12=$$ $$1$$ $$\times$$$$9$$$$+$$$$3$$

$$9=$$ ? $$\times$$$$3$$$$+$$ ?
$$9=$$ $$3$$ $$\times$$$$3$$$$+$$$$0$$

Et puisque le dernier reste non nul est $$3$$
Donc le PGCD($$12$$$$57$$)$$=$$$$3$$