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Correction - Exercice corrigé n°03 - Activités numériques I


1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°03


03 - 
a) \(24\over40\)
On Calcule le PGCD(\(24\),\(40\))

On décompose en facteur premier :


\(24\)\(|\)\(2\)
\(12\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(6\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(3\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(24\)\(=\)\(2\times2\times2\times3\)
D’où \(24\)\(=\)\(2^3\)\(\times3\)

\(40\)\(|\)\(2\)
\(20\)\(|\)\(2\)
\(10\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(40\)\(=\)\(2\times2\times2\times5\)
D’où \(40\)\(=\)\(2^3\)\(\times5\)

Donc : 
\(24\)\(=\)\(2^3\)\(\times3\)
\(40\)\(=\)\(2^3\)\(\times5\)

Conclusion : le PGCD(\(24\)\(40\))\(=\)\(2^3\)\(=\)\(8\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(8\), on trouve :

\(24\over40\)\(=\)\(24:8\over40:8\)\(=\)\(3\over5\)


b) \(30\over35\)

On Calcule le PGCD(\(30\),\(35\))

On décompose en facteur premier :


\(30\)\(|\)\(2\)
\(15\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(30\)\(=\)\(2\times3\times5\)

\(35\)\(|\)\(5\)
\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(35\)\(=\)\(5\times7\)

Donc : 
\(30\)\(=\)\(2\times3\times5\)
\(35\)\(=\)\(5\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(30\)\(35\))\(=\)\(5\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(5\), on trouve :

\(30\over35\)\(=\)\(30:5\over35:5\)\(=\)\(6\over7\)


c) \(18\over63\)

On Calcule le PGCD(\(18\),\(63\))

On décompose en facteur premier :


\(18\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(9\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(3\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(18\)\(=\)\(2\times3\times3\)
D’où \(18\)\(=\)\(2\)\(\times3^2\)

\(63\)\(|\)\(3\)
\(21\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(63\)\(=\)\(3\times3\times7\)
D’où \(63\)\(=\)\(3^2\)\(\times7\)

Donc : 
\(18\)\(=\)\(2\times\)\(3^2\)
\(63\)\(=\)\(3^2\)\(\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(18\)\(63\))\(=\)\(3^2\)\(=\)\(9\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(9\), on trouve :

\(18\over63\)\(=\)\(18:9\over63:9\)\(=\)\(2\over7\)


d) \(70\over140\)
On Calcule le PGCD(\(70\),\(140\))

On décompose en facteur premier :


\(70\)\(|\)\(2\)
\(35\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(70\)\(=\)\(2\times5\times7\)

\(140\)\(|\)\(2\)
\(70\)\(|\)\(2\)
\(35\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(140\)\(=\)\(2\times2\times5\times7\)
D’où \(140\)\(=\)\(2^2\)\(\times5\times7\)

Donc : 
\(70\)\(=\)\(2\times5\times7\)
\(140\)\(=\)\(2^2\)\(\times5\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(70\)\(140\))\(=\)\(2\)\(\times5\times7\)\(=\)\(70\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(70\), on trouve :

\(70\over140\)\(=\)\(70:70\over140:70\)\(=\)\(1\over2\)


e) \(100\over175\)

On Calcule le PGCD(\(100\),\(175\))

On décompose en facteur premier :


\(100\)\(|\)\(2\)
\(50\)\(|\)\(2\)
\(25\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(100\)\(=\)\(2\times2\times5\times5\)
D’où \(100\)\(=\)\(2^2\)\(\times5^2\)

\(175\)\(|\)\(5\)
\(25\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(175\)\(=\)\(5\times5\times5\)
D’où \(175\)\(=\)\(5^3\)

Donc : 
\(100\)\(=\)\(2^2\)\(\times5^2\)
\(175\)\(=\)\(5^3\)

Conclusion : le PGCD(\(100\)\(175\))\(=\)\(5^2\)\(=\)\(25\)

On revient a notre fraction et on simplifie par \(25\), on trouve :

\(100\over175\)\(=\)\(100:25\over175:25\)\(=\)\(4\over5\)

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