## Cours

[Cours][twocolumns]

## Corrigées du manuel scolaire

[Exercice manuel scolaire][twocolumns]

## Séries d'exercices corrigés

[Série d'exercices corrigés][twocolumns]

## Devoirs corrigés

[devoirs corrigés][twocolumns]

## 1ère année secondaire

### Activités numériques I

#### Correction - Exercice corrigé n°05

05 -
a) $$a$$ $$=$$ $$45$$ et $$b$$ $$=$$ $$75$$
* Calculons $$a$$$$\times$$$$b$$
$$a$$$$\times$$$$b$$ $$=$$ $$45$$ $$\times$$ $$75$$
$$a$$$$\times$$$$b$$ $$=$$ $$3375$$

* Calculons le PGCD($$a$$,$$b$$)
PGCD($$a$$,$$b$$) $$=$$ PGCD($$45$$,$$75$$)

On décompose en facteur premier :

$$45$$$$|$$$$3$$
$$15$$$$|$$$$3$$
$$0$$$$5$$$$|$$$$5$$
$$0$$$$1$$$$|$$

Alors $$45$$ $$=$$ $$3\times3\times5$$
D’où $$45$$ $$=$$ $$3^2$$$$\times5$$

$$75$$$$|$$$$3$$
$$25$$$$|$$$$5$$
$$0$$$$5$$$$|$$$$5$$
$$0$$$$1$$$$|$$

Alors $$75$$ $$=$$ $$3\times5\times5$$
D’où $$75$$ $$=$$ $$3$$$$\times5^2$$

Donc :
$$45$$ $$=$$ $$3^2$$$$\times5$$
$$75$$$$=$$ $$3$$ $$\times5^2$$

Conclusion : le PGCD($$45$$$$75$$$$=$$ $$3$$$$\times5$$ $$=$$ $$15$$

* Calculons le PPCM($$a$$,$$b$$)
PPCM($$a$$,$$b$$) $$=$$ PPCM($$45$$,$$75$$)

On décompose en facteur premier :
On a déjà le résultat :

$$45$$ $$=$$ $$3^2$$$$\times5$$
$$75$$ $$=$$ $$3$$$$\times5^2$$

Conclusion : le PPCM($$45$$$$75$$$$=$$ $$3^2$$$$\times5^2$$ $$=$$ $$9$$$$\times25$$ $$=$$ $$225$$

* Calculons le PGCD($$a$$,$$b$$) $$\times$$ PPCM($$a$$,$$b$$)
PGCD($$a$$,$$b$$) $$\times$$ PPCM($$a$$,$$b$$)$$=$$ PGCD($$45$$,$$75$$) $$\times$$ PPCM($$45$$,$$75$$) $$=$$ $$15$$ $$\times$$ $$225$$ $$=$$ $$3375$$

b) $$a$$ $$=$$ $$56$$ et $$b$$ $$=$$ $$70$$
* Calculons $$a$$$$\times$$$$b$$
$$a$$$$\times$$$$b$$ $$=$$ $$56$$ $$\times$$ $$70$$
$$a$$$$\times$$$$b$$ $$=$$ $$3920$$

* Calculons le PGCD($$a$$,$$b$$)
PGCD($$a$$,$$b$$) $$=$$ PGCD($$56$$,$$70$$)

On décompose en facteur premier :

$$56$$$$|$$$$2$$
$$28$$$$|$$$$2$$
$$14$$$$|$$$$2$$
$$0$$$$7$$$$|$$$$7$$
$$0$$$$1$$$$|$$

Alors $$56$$ $$=$$ $$2\times2\times2\times7$$
D’où $$56$$ $$=$$ $$2^3$$$$\times7$$

$$70$$$$|$$$$2$$
$$35$$$$|$$$$5$$
$$0$$$$7$$$$|$$$$7$$
$$0$$$$1$$$$|$$

Alors $$75$$ $$=$$ $$2\times5\times7$$

Donc :
$$56$$ $$=$$ $$2^3$$$$\times7$$
$$75$$ $$=$$ $$2\times5\times7$$

Conclusion : le PGCD($$56$$$$70$$$$=$$ $$2\times7$$ $$=$$ $$14$$

* Calculons le PPCM($$a$$,$$b$$)
PPCM($$a$$,$$b$$) $$=$$ PPCM($$56$$,$$70$$)

On décompose en facteur premier :
On a déjà le résultat :

$$56$$ $$=$$ $$2^3$$$$\times7$$
$$75$$ $$=$$ $$2\times5\times7$$

Conclusion : le PPCM($$56$$$$70$$$$=$$ $$2^3$$$$\times5\times7$$ $$=$$ $$8$$$$\times35$$ $$=$$ $$280$$

* Calculons le PGCD($$a$$,$$b$$) $$\times$$ PPCM($$a$$,$$b$$)
PGCD($$a$$,$$b$$) $$\times$$ PPCM($$a$$,$$b$$)$$=$$ PGCD($$56$$,$$70$$) $$\times$$ PPCM($$56$$,$$70$$) $$=$$ $$14$$ $$\times$$ $$280$$ $$=$$ $$3920$$

c) Pour tout $$a$$$$\in$$$$\mathbb{N}^{*}$$ et $$b$$$$\in$$$$\mathbb{N}^{*}$$ :
PGCD($$a$$,$$b$$$$\times$$ PPCM($$a$$,$$b$$$$=$$ $$a$$ $$\times$$ $$b$$, en déduire le résultat a partir des résultats de a) et b)