Cours

[Cours][twocolumns]

Corrigées du manuel scolaire

[Exercice manuel scolaire][twocolumns]

Séries d'exercices corrigés

[Série d'exercices corrigés][twocolumns]

Devoirs corrigés

[devoirs corrigés][twocolumns]

Articles recents

Correction - Exercice corrigé n°05 - Activités numériques I


1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice corrigé n°05


05 - 
a) \(a\) \(=\) \(45\) et \(b\) \(=\) \(75\)
* Calculons \(a\)\(\times\)\(b\)
\(a\)\(\times\)\(b\) \(=\) \(45\) \(\times\) \(75\)
\(a\)\(\times\)\(b\) \(=\) \(3375\)

* Calculons le PGCD(\(a\),\(b\))
PGCD(\(a\),\(b\)) \(=\) PGCD(\(45\),\(75\))

On décompose en facteur premier :

\(45\)\(|\)\(3\)
\(15\)\(|\)\(3\)
\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(45\) \(=\) \(3\times3\times5\)
D’où \(45\) \(=\) \(3^2\)\(\times5\)

\(75\)\(|\)\(3\)
\(25\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(5\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(75\) \(=\) \(3\times5\times5\)
D’où \(75\) \(=\) \(3\)\(\times5^2\)

Donc : 
\(45\) \(=\) \(3^2\)\(\times5\)
\(75\)\(=\) \(3\) \(\times5^2\)

Conclusion : le PGCD(\(45\)\(75\)\(=\) \(3\)\(\times5\) \(=\) \(15\)


* Calculons le PPCM(\(a\),\(b\))
PPCM(\(a\),\(b\)) \(=\) PPCM(\(45\),\(75\))

On décompose en facteur premier :
On a déjà le résultat :

\(45\) \(=\) \(3^2\)\(\times5\)
\(75\) \(=\) \(3\)\(\times5^2\)

Conclusion : le PPCM(\(45\)\(75\)\(=\) \(3^2\)\(\times5^2\) \(=\) \(9\)\(\times25\) \(=\) \(225\)


* Calculons le PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\))
PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\))\(=\) PGCD(\(45\),\(75\)) \(\times\) PPCM(\(45\),\(75\)) \(=\) \(15\) \(\times\) \(225\) \(=\) \(3375\)


b) \(a\) \(=\) \(56\) et \(b\) \(=\) \(70\)
* Calculons \(a\)\(\times\)\(b\)
\(a\)\(\times\)\(b\) \(=\) \(56\) \(\times\) \(70\)
\(a\)\(\times\)\(b\) \(=\) \(3920\)

* Calculons le PGCD(\(a\),\(b\))
PGCD(\(a\),\(b\)) \(=\) PGCD(\(56\),\(70\))

On décompose en facteur premier :

\(56\)\(|\)\(2\)
\(28\)\(|\)\(2\)
\(14\)\(|\)\(2\)
\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(56\) \(=\) \(2\times2\times2\times7\)
D’où \(56\) \(=\) \(2^3\)\(\times7\)

\(70\)\(|\)\(2\)
\(35\)\(|\)\(5\)
\(0\)\(7\)\(|\)\(7\)
\(0\)\(1\)\(|\)

Alors \(75\) \(=\) \(2\times5\times7\)

Donc : 
\(56\) \(=\) \(2^3\)\(\times7\)
\(75\) \(=\) \(2\times5\times7\)

Conclusion : le PGCD(\(56\)\(70\)\(=\) \(2\times7\) \(=\) \(14\)


* Calculons le PPCM(\(a\),\(b\))
PPCM(\(a\),\(b\)) \(=\) PPCM(\(56\),\(70\))

On décompose en facteur premier :
On a déjà le résultat :

\(56\) \(=\) \(2^3\)\(\times7\)
\(75\) \(=\) \(2\times5\times7\)

Conclusion : le PPCM(\(56\)\(70\)\(=\) \(2^3\)\(\times5\times7\) \(=\) \(8\)\(\times35\) \(=\) \(280\)


* Calculons le PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\))
PGCD(\(a\),\(b\)) \(\times\) PPCM(\(a\),\(b\))\(=\) PGCD(\(56\),\(70\)) \(\times\) PPCM(\(56\),\(70\)) \(=\) \(14\) \(\times\) \(280\) \(=\) \(3920\)

c) Pour tout \(a\)\(\in\)\(\mathbb{N}^{*}\) et \(b\)\(\in\)\(\mathbb{N}^{*}\) :
PGCD(\(a\),\(b\)\(\times\) PPCM(\(a\),\(b\)\(=\) \(a\) \(\times\) \(b\), en déduire le résultat a partir des résultats de a) et b)

Aucun commentaire: