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Correction - Exercice 02 page 147 - Activités numériques I


1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 02 page 147


a) Déterminons le PGCD (\(4998\),\(4116\)par la méthode de décomposition en facteurs premiers.

On décompose en facteur premier :
\(4998\)\(|\)\(2\)
\(2499\)\(|\)\(3\)
  \(833\)\(|\)\(7\)
  \(119\)\(|\)\(7\)
    \(17\)\(|\)\(17\)
      \(1\)\(|\)


Alors
\(4998\)\(=\)\(2\times3\times7\times7\times17\)
D'où
\(4998\)\(=\)\(2\times3\times7^2\times17\)

\(4116\)\(|\)\(2\)
\(2058\)\(|\)\(2\)
\(1029\)\(|\)\(3\)
  \(343\)\(|\)\(7\)
    \(49\)\(|\)\(7\)
      \(7\)\(|\)\(7\)
      \(1\)\(|\)

Alors \(4116\)\(=\)\(2\times2\times3\times7\times7\times7\)
D'où \(4116\)\(=\)\(2^2\times3\times7^3\)


Donc : 
\(4998\)\(=\)\(2\times3\times7^2\times17\)
et
\(4116\)\(=\)\(2^2\times3\times7^3\)

Conclusion : 
Le PGCD(\(4998\), \(4116\))\(=\)\(2\times3\times7^2\)\(=\)\(294\).


b) Déterminons le PGCD (\(4998\),\(4116\)par l'algorithme d'Euclide.

\(4998=\) ? \(\times\)\(4116\)\(+\) ?
\(4998=\) \(1\) \(\times\)\(4116\)\(+\)\(882\)

\(4116=\) ? \(\times\)\(882\)\(+\) ?
\(4116=\) \(4\) \(\times\)\(882\)\(+\)\(588\)

\(882=\) ? \(\times\)\(588\)\(+\) ?
\(882=\) \(1\) \(\times\)\(588\)\(+\)\(294\)

\(588=\) ? \(\times\)\(294\)\(+\) ?
\(588=\) \(2\) \(\times\)\(294\)\(+\)\(0\)

Et puisque le dernier reste différent de 
\(0\) est \(294\).

Donc : Le PGCD(\(4998\), \(4116\))\(=\)\(294\).

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