Cours

[Cours][twocolumns]

Corrigées du manuel scolaire

[Exercice manuel scolaire][twocolumns]

Séries d'exercices corrigés

[Série d'exercices corrigés][twocolumns]

Devoirs corrigés

[devoirs corrigés][twocolumns]

Articles recents

Correction - Exercice 26 page 149 - Activités numériques I


1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 26 page 149



Trouvons le nombre d'écoliers, de collégiens et de lycéens. En écrivons toutes les solutions.

Soient \(l\) le nombre des lycéens, \(c\) celui des collégiens et \(e\) celui des écoliers.

On a \(10\)\(l\) \(+\) \(2\)\(c\) \(+\) \(0,5\)\(e\) \(=\) \(200\).

On a aussi \(l\) \(+\) \(c\) \(+\) \(e\) \(=\) \(100\), d'où \(l\) \(=\) \(100\) \(-\) \(c\) \(-\) \(e\)

Alors
\(10\)\(l\) \(+\) \(2\)\(c\) \(+\) \(0,5\)\(e\) \(=\) \(200\)

\(\Rightarrow\) \(10\)\((\)\(100\) \(-\) \(c\) \(-\) \(e\)\()\) \(+\) \(2\)\(c\) \(+\) \(0,5\)\(e\) \(=\) \(200\)

\(\Rightarrow\) \(1000\) \(-\) \(10c\) \(-\) \(10e\) \(+\) \(2\)\(c\) \(+\) \(0,5\)\(e\) \(=\) \(200\)

\(\Rightarrow\) \(-\) \(10c\) \(+\) \(2\)\(c\)\(-\)\(10e\) \(+\) \(0,5\)\(e\) \(=\) \(200\) \(-\) \(1000\)

\(\Rightarrow\) \(-\) \(8\) \(c\) \(-\) \(9,5\) \(e\) \(=\) \(-800\)

\(\Rightarrow\) \(8\)\(c\) \(+\) \(9,5\)\(e\) \(=\) \(800\)

\(\Rightarrow\) \(80\)\(c\) \(+\) \(95\)\(e\) \(=\) \(8000\)

\(\Rightarrow\) \(c\) \(=\) \(\frac{8000\color{Red}{- 95e}}{80}\)

\(\Rightarrow\) \(c\) \(=\) \(\frac{8000}{80}\) \(-\) \(\frac{\color{Red}{95e}}{\color{Red}{80}}\)

\(\Rightarrow\) \(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\frac{\color{Red}{95e}}{\color{Red}{80}}\)

\(\Rightarrow\) \(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\)

Bien entendu \(c\) représente le nombre d'écoliers qui doit être un entier naturel, ce qui nous donne \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) un entier naturel, et par la suite \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) est aussi un entier naturel. 
Pour que \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) soit un entier naturel il faut que \(e\) soit un multiple de \(16\)(on multiplions \(\frac{19}{16}\) par un multiple de 16 nous donne un entier naturel).



Trouvons toutes les solutions des nombres d'écoliers, des collégiens et des lycéens.

Calculons \(c\) et \(l\) à partir de \(e\) :

* Si \(e=0\)
\(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19\times0}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(0\)  \(=\) \(100\). alors \(c=100\).
\(l\) \(=\) \(100\) \(-\) \(c\) \(-\) \(e\) \(=\) \(100\) \(-\) \(100\) \(-\) \(0\) \(=\) \(0\). alors \(l=0\).

* Si \(e=16\)
\(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19\times16}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(19\)  \(=\) \(81\). alors \(c=81\).
\(l\) \(=\) \(100\) \(-\) \(c\) \(-\) \(e\) \(=\) \(100\) \(-\) \(81\) \(-\) \(16\) \(=\) \(3\). alors \(l=3\).

* Si \(e=32\)
\(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19\times32}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(38\)  \(=\) \(62\). alors \(c=62\).
\(l\) \(=\) \(100\) \(-\) \(c\) \(-\) \(e\) \(=\) \(100\) \(-\) \(62\) \(-\) \(32\) \(=\) \(6\). alors \(l=6\).

* Si \(e=48\)
\(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19\times48}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(57\)  \(=\) \(43\). alors \(c=43\).
\(l\) \(=\) \(100\) \(-\) \(c\) \(-\) \(e\) \(=\) \(100\) \(-\) \(43\) \(-\) \(48\) \(=\) \(9\). alors \(l=9\).

* Si \(e=64\)
\(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19\times64}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(76\)  \(=\) \(24\). alors \(c=24\).
\(l\) \(=\) \(100\) \(-\) \(c\) \(-\) \(e\) \(=\) \(100\) \(-\) \(24\) \(-\) \(64\) \(=\) \(12\). alors \(l=12\).

* Si \(e=80\)
\(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19\times80}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(95\)  \(=\) \(5\). alors \(c=5\).

\(l\) \(=\) \(100\) \(-\) \(c\) \(-\) \(e\) \(=\) \(100\) \(-\) \(5\) \(-\) \(80\) \(=\) \(15\). alors \(l=15\).

* Si \(e=96\)
\(c\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19e}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(\color{Red}{\frac{19\times96}{16}}\) \(=\) \(100\) \(-\) \(114\)  \(=\) \(-5\). le nombre des écoliers ne peut pas être négatif, et par la suite \(e\) ne peut pas être \(96\).

Conclusion :

Les solutions possible sont :
\(l=0\) ; \(c=100\) ; \(e=0\)
\(l=3\) ; \(c=81\) ; \(e=16\)
\(l=6\) ; \(c=62\) ; \(e=32\)
\(l=9\) ; \(c=43\) ; \(e=48\)
\(l=12\) ; \(c=24\) ; \(e=64\)
\(l=15\) ; \(c=5\) ; \(e=80\)

Aucun commentaire: