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Correction - Exercice 03 page 19 - Angles


1ère année secondaire

Angles

Exercice 03 page 19



Chacun des triangles rectangles est isocèle.


a)
Montrons que les droites \((OC)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.

On a \(ABO\) un triangle rectangle et isocèle en \(A\), alors \(\widehat{A O B}=\widehat{A B O}=45°\).



Et \(BCO\) un triangle rectangle et isocèle en \(B\), alors \(\widehat{B O C}=\widehat{O C B}=45°\).



Alors \(\widehat{A O C}=\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90°\).

Donc \((OC)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.



Montrons que les points \(E\), \(O\) et \(A\) sont alignés.

On a \(CDO\) un triangle rectangle et isocèle en \(C\), alors \(\widehat{C O D}=\widehat{C D O}=45°\).


Et \(DEO\) un triangle rectangle et isocèle en \(D\), alors \(\widehat{D O E}=\widehat{D E O}=45°\).



Alors \(\widehat{C O E}=\widehat{A O B}+\widehat{D O E}=90°\).

Et par la suite \(\widehat{A O E}=\widehat{A O C}+\widehat{C O E}=90°+90°=180°\).


Donc \(E\), \(O\) et \(A\) sont alignés.



Montrons que les droites \((OB)\) et \((OD)\) sont perpendiculaires.
\(\widehat{B O C}=45°\) ; \(\widehat{C O D}=45°\).

Alors \(\widehat{B O D}=\widehat{B O C}+\widehat{C O D}=45°+45°=90°\).

Donc \((OC)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires.

b)
\(OA=1cm\)

Calculons \(OB\) :
D'après la théorème de Pythagore dans un triangle rectangle \(OB^2=OA^2+AB^2\) et puisque le triangle et isocèle alors \(OA=AB\).

Donc
\(OB^2=OA^2+OA^2\) \(\Rightarrow\) 
\(OB^2=1^2+1^2\) \(\Rightarrow\)
\(OB^2=1+1\) \(\Rightarrow\)
\(OB^2=2\) \(\Rightarrow\)
\(OB=\sqrt{2}cm\).

Calculons \(OC\) :
\(OC^2=OB^2+BC^2\) \(\Rightarrow\) 
\(OC^2=OB^2+OB^2\) \(\Rightarrow\) 
\(OC^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=2+2\) \(\Rightarrow\)
\(OC^2=4\) \(\Rightarrow\)
\(OC=\sqrt{4}\) \(\Rightarrow\)
\(OC=2cm\).

Calculons \(OD\) :
\(OD^2=OC^2+CD^2\) \(\Rightarrow\) 
\(OD^2=OC^2+OC^2\) \(\Rightarrow\) 
\(OD^2=2^2+2^2\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=4+4\) \(\Rightarrow\)
\(OD^2=8\) \(\Rightarrow\)
\(OD=\sqrt{8}cm\).

Calculons \(OE\) :
\(OE^2=OD^2+DE^2\) \(\Rightarrow\) 
\(OE^2=OD^2+OD^2\) \(\Rightarrow\) 
\(OE^2=(\sqrt{8})^2+(\sqrt{8})^2\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=8+8\) \(\Rightarrow\)
\(OE^2=16\) \(\Rightarrow\)
\(OE=\sqrt{16}\) \(\Rightarrow\)
\(OE=4cm\).

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