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Correction - Exercice 13 page 20 - Angles


1ère année secondaire

Angles

Exercice 13 page 20


Traçons le triangle équilatéral \(ABC\) et son cercle circonscrit \((C)\).



1- Montrons que le triangle \(MNC\) est équilatéral.



On a \(MN = MC\) alors le triangle \(MNC\) est isocèle en \(M\).

Et comme les deux angles \(\widehat{A B C}\) et \(\widehat{A M C}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{[AC]}\), donc ils sont isométriques.

D'où \(\widehat{A B C}\)\(=\)\(\widehat{A M C}\)\(=\)\(60°\)

Et puisque \(\widehat{M N C}\)\(=\)\(\widehat{M C N}\)\(=\)\(\frac{120°}{2}\)\(=\)\(60°\) (car \(180°-60°=120°\))

Conclusion :
Les trois angles du triangle \(MNC\) sont égaux et mesurent \(60°\) alors il est équilatéral.


2- 
Déterminons la nature du triangle \(APN\).



* Les deux angles \(\widehat{A N P}\) et \(\widehat{M N C}\) sont opposés au sommet, alors \(\widehat{A N P}\) \(=\) \(\widehat{M N C}\) \(=\) \(60°\).

* Les deux angles \(\widehat{A P C}\) et \(\widehat{A M C}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{[AC]}\), alors \(\widehat{A P C}\) \(=\) \(\widehat{A M C}\) \(=\)  \(60°\).

Donc l'angle \(\widehat{P A N}\) égale aussi à \(60°\).

Conclusion :
Le triangle \(APN\) est équilatéral.


Déterminons la nature du quadrilatère \(MNPB\).

Les deux angles \(\widehat{A C B}\) et \(\widehat{A M B}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{[AB]}\), alors \(\widehat{A C B}\) \(=\) \(\widehat{A M B}\) \(=\) \(60°\).



* Les deux angles \(\widehat{B A C}\) et \(\widehat{B P C}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{[BC]}\), alors \(\widehat{B A C}\) \(=\) \(\widehat{B P C}\) \(=\) \(60°\).

* \(\widehat{P N M}\) \(=\)  \(180°-60°=120°\).

* \(\widehat{P B M}\) \(=\)  \(360°-(60°+60°+120°)=120°\).

Conclusion :
Le quadrilatère \(MNPB\) est un parallélogramme car ses angles opposés sont isométriques.

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