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Correction - Exercice 09 page 34 - Théorème de Thalès et sa réciproque


1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 09 page 34


Soit \(ABC\) un triangle :
1- Construisons le point \(D\) de \([BC]\) tel que \(\frac{DB}{DC}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\).

\(\frac{DB}{DC}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\)

\(DC\) \(=\) \(2DB\)

Donc \(BC\) \(=\) \(BD+\) \(DC\)\(=\) \(DB+\) \(2DB\) \(=\) \(3DB\).

D'où \(DB\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)\(BC\).

Donnons l'abscisse de \(D\) dans le repère \((B, C)\).

Dans le repère \((B, C)\) l'abscisse de \(D\) est \(\frac{1}{3}\).




2- 

Soit \(F\) l'intersection de la parallèle à \((AC)\) passant par \(D\) et la droite \((AB)\).
Soit \(E\) l'intersection de la parallèle à \((AB)\) passant par \(D\) et la droite \((AC)\).


Evaluons chacun des rapports 
\(\frac{AF}{AB}\) et \(\frac{AE}{AC}\).

On a \(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{CD}{BC}\)
Et puisque \(CD\) \(=\) \(2DB\), alors :
\(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{2DB}{BC}\)

Et Comme \(DB\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)\(BC\), alors :
\(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{2\times\frac{1}{3}BC}{BC}\)
 \(\Rightarrow\)

\(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{\frac{2}{3}BC}{BC}\)\(\Rightarrow\)

\(\frac{AF}{AB}\) \(=\) \(\frac{2}{3}\).



* On a \(\frac{AE}{AC}\) \(=\) \(\frac{BD}{BC}\)
Et Comme \(DB\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)\(BC\), alors :
\(\frac{AE}{AC}\) \(=\) \(\frac{\frac{1}{3}BC}{BC}\)
 \(\Rightarrow\)

\(\frac{AE}{AC}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\).

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