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Correction - Exercice 11 page 34 - Théorème de Thalès et sa réciproque


1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 11 page 34


Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que \(AC=5cm\) et \(BC=6cm\).

Soit \(M\) un point de \([BC]\) tel que \(CM=1cm\).

La perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \((AC)\) en \(N\).


1- Calculons le périmètre du triangle \(CMN\).

Soit \(AH\) l'hauteur du triangle \(ABC\) issue de A.
Le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\) alors \({AH}^2+{HC}^2={AC}^2\)

D'où \(AH^2=\)\(AC^2-HC^2=\)\(5^2-{{\color{Magenta} 3}}^2=25-9=16\) (\(HC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\) car dans un triangle isocèle la hauteur issue du sommet est aussi la médiane issue de ce sommet ainsi que la médiatrice du côté opposé.)

Alors \(AH=\)\(\sqrt{16}=4cm\)

* On cherche \(MN\)
D'après le théorème de Thalès on a :
\(\frac{CM}{CH}\)\(=\)\(\frac{CN}{CA}\)\(=\)\(\frac{MN}{AH}\)
\(\frac{CM}{CH}\)\(=\)\(\frac{MN}{AH}\)

\(MN\) \(=\) \(\frac{CM\times AH}{CH}\) \(=\) \(\frac{1\times 4}{3}\) \(=\) \(\frac{4}{3}\)

* On cherche \(CN\)

\(\frac{CM}{CH}\)\(=\)\(\frac{CN}{CA}\)

\(CN\) \(=\) \(\frac{CM\times CA}{CH}\) \(=\) \(\frac{1\times 5}{3}\) \(=\) \(\frac{5}{3}\)

Soit \(P\) le périmètre du triangle \(CMN\).


\(P=MN+CN+MC=\)\(\frac{4}{3}\)\(+\)\(\frac{5}{3}\)\(+\)\(1\)\(\Rightarrow\)

\(P=\)\(\frac{4}{3}\)\(+\)\(\frac{5}{3}\)\(+\)\(\frac{3}{3}\)\(\Rightarrow\)
\(P=\)\(\frac{12}{3}\) \(\Rightarrow\)

\(P=\)
\(4cm\)


2- Calculons l'aire du triangle \(CMN\).
Soit \(A\) l'aire du triangle \(CMN\).

\(A=\)\(\frac{MN\times MC}{2}\)\(=\)\(\frac{\frac{4}{3}\times 1}{2}\)\(=\)\(\frac{\frac{4}{3}}{2}\)\(=\)\(\frac{4}{3}\)\(\times\)\(\frac{1}{2}\)\(=\)\(\frac{2}{3}\)\(cm^2\).

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