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Correction - Exercice 13 page 181 - Activités algébriques


1ère année secondaire

Activités algébriques

Exercice 13 page 181


Soient \(a\) et \(b\) désignent deux réels non nuls tels que \(a+b\neq0\) et \(b–a\neq0\).

Soit \(\frac{3}{a}\)\(=\)\(\frac{5}{b}\).

a) Montrer que \(\frac{3}{a}\)\(=\)\(\frac{8}{a+b}\).

On a \(\frac{3}{a}\)\(=\)\(\frac{5}{b}\)

Alors \(3b=5a\)

Et si on ajoute \(3a\) aux deux membres de l'égalité on obtient :

\(3b+3a=5a+3a\) \(\Rightarrow\)

\(3(b+a)=8a\) \(\Rightarrow\)

\(3(a+b)=8a\)

Et par la suite on divise les deux membres de l'égalité par \(a(a+b)\) pour obtenir :

\(\frac{3(a+b)}{a(a+b)}\) \(=\) \(\frac{8a}{a(a+b)}\) \(\Rightarrow\)

Enfin on simplifie pour trouver :
\(\frac{3}{a}\)\(=\)\(\frac{8}{a+b}\)


b) Montrer que \(\frac{5}{b}\)\(=\)\(\frac{2}{b-a}\).

On a \(\frac{3}{a}\)\(=\)\(\frac{5}{b}\)

Alors \(3b=5a\)

Et si on multiplie par \(-1\) aux deux membres de l'égalité on obtient :

\(-3b=-5a\)

Et par la suite on ajoute \(5b\) aux deux membres de l'égalité pour obtenir :

\(-3b+5b=-5a+5b\) \(\Rightarrow\)

\(2b=5(a+b)\) \(\Rightarrow\)

Divisons ensuite par \(b(b-a)\) pour obtenir :

\(\frac{2b}{b(b-a)}\) \(=\) \(\frac{5(b-a)}{b(b-a)}\) \(\Rightarrow\)

Enfin on simplifie pour trouver :
\(\frac{2}{(b-a)}\)\(=\)\(\frac{5}{b}\).

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