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Correction - Exercice 14 page 20 - Angles


1ère année secondaire

Angles

Exercice 14 page 20



1- Montrer que les angles \(\widehat{D A B}\) et \(\widehat{D C B}\) sont supplémentaires.

Soit \(O\) le centre de cercle \((C)\).

On sait qu'un angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l'angle au centre. alors :


\(\widehat{D C B}=\)\(\frac{1}{2}\)\(\widehat{D O B}\)

D'où
\(\widehat{D O B}=\)\(2\)\(\widehat{D C B}\).



On a aussi :

\(\widehat{D A B}=\)\(\frac{1}{2}\)\(\widehat{D O B}\) (rentrant)

D'où :
\(\widehat{D O B}\)(rentrant)\(=2\)\(\widehat{D A B}\).



Et puisque les deux angles au centre forment un cercle de \(360°\), alors :
\(2\)\(\widehat{D C B}+\)\(2\)\(\widehat{D A B}=360°\)

Et par la suite \(2\)\((\widehat{D C B}+\widehat{D A B})=360°\)

Donc \(\widehat{D C B}+\widehat{D A B}=180°\)

Ce qui signifie que les deux angles \(\widehat{D C B}\) et \(\widehat{D A B}\) sont supplémentaires.



2- Montrer que les angles \(\widehat{A B C}\) et \(\widehat{A D C}\) sont supplémentaires.

Méthode n°1 :
On applique la même procédure que la première démonstration.

Méthode n°2 :
Dans un quadrilatère la somme des angles est \(360°\).

Alors dans \(ABCD\) on a :
\(\widehat{D A B}+\widehat{D C B}\)\(+\)\(\widehat{A B C}+\widehat{A D C}\)\(=360°\)

Et puisque :
\(\widehat{D A B}+\widehat{D C B}=180°\)

Donc :
\(180\)\(+\)\(\widehat{A B C}+\widehat{A D C}\)\(=360°\)

Ce qui signifie que :
\(\widehat{A B C}+\widehat{A D C}\)\(=360°-180°=180°\)

Conclusion :
\(\widehat{A B C}\) et \(\widehat{A D C}\) sont supplémentaires.



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