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Correction - Exercice 16 page 182 - Activités algébriques


1ère année secondaire

Activités algébriques

Exercice 16 page 182


Soit \(φ\) le nombre d'or.

\(φ=\) \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

1- Calculons \(φ-1\) et \(\frac{1}{φ}\) et comparons les.

* \(φ-1=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)

\(φ-1=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(-1\) \(\Rightarrow\)

\(φ-1=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(-\)\(\frac{2}{2}\) \(\Rightarrow\)

\(φ-1=\) \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) \(=0,618\).


* \(\frac{1}{φ}\)\(=\)\(\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\) \(\Rightarrow\)

\(\frac{1}{φ}\)\(=\)\(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\) \(=0,618\)

Donc \(φ-1=\)\(\frac{1}{φ}\)


2- En déduisons que \(φ^2=φ+1\).

On a \(φ-1=\)\(\frac{1}{φ}\) d'où \(φ(φ-1)=1\) alors \(φ^2-φ=1\) donc \(φ^2=φ+1\)

Calculons \(φ^2\).

\(φ^2=φ+1\) \(\Rightarrow\)

\(φ^2=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(+1\) \(\Rightarrow\)

\(φ^2=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(\frac{2}{2}\) \(\Rightarrow\)

\(φ^2=\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)


3- a) Montrons que pour tout entier naturel \(n\), \(φ^{n+2}=φ^{n+1}+φ^n\).


On a \(φ^2=φ+1\)

On multiplie les deux membres de l'égalité par \(φ^n\) :

\(φ^2\times φ^n=(φ+1) φ^n\) \(\Rightarrow\)

\(φ^{n+2}=φ\times φ^n+1\times φ^n\) \(\Rightarrow\)

\(φ^{n+2}=φ^{n +1}+φ^{n}\)


b) Calculons \(φ^3\), \(φ^4\) et \(φ^5\).

* \(φ^3=φ^{2}+φ^{1}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^3=\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)

\(φ^3=\)\(\frac{4+2\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)

\(φ^3=\)\(2+2\sqrt{5}\)

* \(φ^4=φ^{3}+φ^{2}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^4=\)\(2+2\sqrt{5}\)\(+\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)

\(φ^4=\)\(\frac{4+2\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)

\(φ^4=\)\(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)

* \(φ^5=φ^{4}+φ^{3}\) \(\Rightarrow\)
\(φ^5=\)\(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(2+2\sqrt{5}\) \(\Rightarrow\)

\(φ^5=\)\(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)\(+\)\(\frac{4+2\sqrt{5}}{2}\) \(\Rightarrow\)

\(φ^5=\)\(\frac{11+5\sqrt{5}}{2}\).


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