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Correction - Exercice 20 page 182 - Activités algébriques


1ère année secondaire

Activités algébriques

Exercice 20 page 182


1- Montrons l'égalité suivante lorsque \(n\) est un entier naturel non nul
\(\frac{1}{n}\) \(-\) \(\frac{1}{n+1}\) \(=\) \(\frac{1}{n(n+1)}\).

\(\frac{1}{n}\) \(-\) \(\frac{1}{n+1}\) \(=\) \(\frac{1\times(n+1)}{n(n+1)}\) \(-\) \(\frac{1\times n}{n+1}\) \(=\) \(\frac{n+1-n}{n(n+1)}\) \(=\) \(\frac{1}{n(n+1)}\).

2- Ecrivons chacune des fractions suivantes sous la forme d'une différence de deux fractions dont les dénominateurs sont deux entiers consécutifs.

* \(\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{2}{2}-\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\)

* \(\frac{1}{6}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{3}{6}-\frac{2}{6}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

* \(\frac{1}{12}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)

* \(\frac{1}{110}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{11}{110}-\frac{10}{110}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)


3- Déduisons de ce qui précède le calcul de \(\frac{1}{1\times2}\) \(+\) \(\frac{1}{2\times3}\) \(+\) \(\frac{1}{3\times4}\) \(+...+\) \(\frac{1}{2003\times2004}\).

\(\frac{1}{1\times2}\) \(+\) \(\frac{1}{2\times3}\) \(+\) \(\frac{1}{3\times4}\) \(+...+\) \(\frac{1}{2003\times2004}\) \(=\) \(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\) \(+\) \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\) \(+\) \(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\) \(+...+\) \(\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}\) \(=\) \(\frac{1}{1}-\frac{1}{2004}\) \(=\) \(\frac{2004}{2004}-\frac{1}{2004}\) \(=\) \(\frac{2004-1}{2004}\) \(=\) \(\frac{2003}{2004}\)

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