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Correction - S'auto-évaluer Recopier et compléter page 32 - Théorème de Thalès et sa réciproque


1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

S'auto-évaluer Recopier et compléter page 32



a) \(\frac{EF}{BC}\) \(=\) ...
On a \(\frac{AE}{AB}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)

Et \(\frac{AF}{AC}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)

Alors 
\(\frac{AE}{AB}\) \(=\) \(\frac{AF}{AC}\)

D'où par la réciproque du théorème de Thalès on a \(EF\) \(//\) \(BC\).

Et par la suite \(\frac{EF}{BC}\) \(=\) \(\frac{AE}{AB}\) \(=\) \(\frac{AF}{AC}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)

Conclusion :
\(\frac{EF}{BC}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\).


b) Comparer \(EF\) et \(KL\).


On a \(\frac{EF}{BC}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)

Et \(\frac{KL}{BC}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)

Alors \(\frac{EF}{BC}\) \(=\) \(\frac{KL}{BC}\)

D'où \(EF\) \(=\) \(KL\)


c) Le périmètre de \(EFJLKI\) est égal aux ... du périmètre de \(ABC\).
On a prouvé dans b) que \(EF\) \(=\) \(KL\), et c'est la même chose pour \(EI\) et \(JL\), ainsi que \(FJ\) et \(IK\).

C'est à dire \(EF\) \(=\) \(KL\)\(EI\) \(=\) \(JL\)\(FJ\) \(=\) \(IK\)

Soit \(P_1\) le périmètre de \(EFJLKI\).


\(P_1=\) \(EF\) \(+\) \(FJ\) \(+\) \(JL\) \(+\) \(LK\) \(+\) \(KI\) \(+\) \(IE\) \(\Rightarrow\)


\(P_1=\) \(2EF\) \(+\) \(2FJ\) \(+\) \(2JL\) \(\Rightarrow\)


\(P_1=\) \(\frac{2}{3}\)\(BC\) \(+\) \(\frac{2}{3}\)\(AC\) \(+\) \(\frac{2}{3}\)\(AB\) \(\Rightarrow\)


\(P_1=\) \(\frac{2}{3}\)\((\)\(BC\) \(+\) \(AC\) \(+\) \(AB\)\()\) \(\Rightarrow\)


\(P_1=\) \(\frac{2}{3}\)\((\)périmètre de \(ABC\)\()\)

Conclusion :

Le périmètre de \(EFJLKI\) est égal aux \(\frac{2}{3}\) du périmètre de \(ABC\).

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