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Correction - Exercice 02 page 46 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle


1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 02 page 46


Soit \(STP\) un triangle rectangle en \(S\) et \([SO]\) est une hauteur.


Recopions et complétons le tableau par des valeurs approchées à \(0,1\) près des grandeurs demandées.



* 1ère ligne  :
Cherchons \(\widehat{P}\)
On a :
\(\widehat{P} = 90°-36°=\) \(54°\)

- Cherchons \(ST\)
On a :
\(cos~\widehat{T} = \frac{ST}{TP}\) \(\Rightarrow\)

\(cos~36° = \frac{ST}{12}\) \(\Rightarrow\)

\(ST = cos~36°\times12\) \(\Rightarrow\)

\(ST = 0,81\times12\) \(\Rightarrow\)

\(ST\approx \) \(9,7\)

- Cherchons \(SP\)
On a :
\(ST^2+SP^2=TP^2\) \(\Rightarrow\)

\(SP^2=TP^2-ST^2\) \(\Rightarrow\)

\(SP^2=12^2-9,7^2\) \(\Rightarrow\)

\(SP^2=144-94,09\) \(\Rightarrow\)

\(SP^2=49,91\) \(\Rightarrow\)

\(SP^2=\sqrt{49,91}\) \(\Rightarrow\)

\(SP\approx\) \(7,1\)

- Cherchons \(OS\)
On a :
\(sin~\widehat{P}=\frac{OS}{SP}\) \(\Rightarrow\)

\(sin~54° = \frac{OS}{7,1}\) \(\Rightarrow\)

\(OS = sin~54°\times7,1\) \(\Rightarrow\)

\(OS = 0,81\times7,1\) \(\Rightarrow\)

\(OS\approx \) \(5,8\)

- Cherchons \(OT\)
On a :
\(cos~\widehat{T} = \frac{OT}{ST}\) \(\Rightarrow\)

\(cos~36° = \frac{OT}{9,7}\) \(\Rightarrow\)

\(OT = cos~36°\times9,7\) \(\Rightarrow\)

\(OT = 0,81\times9,7\) \(\Rightarrow\)

\(OT\approx \) \(7,9\)

- Cherchons \(OP\)
On a :
\(OP = TP-OT\) \(\Rightarrow\)

\(OP = 12-7,9\) \(\Rightarrow\)

\(OP= \) \(4,1\)



* 2ème ligne  :
Cherchons \(\widehat{T}\)
On a :
\(\widehat{T} = 90°-25°=\) \(65°\)

- Cherchons \(SP\)
On a :
\(tg~\widehat{P} = \frac{ST}{SP}\) \(\Rightarrow\)

\(tg~25° = \frac{7}{SP}\) \(\Rightarrow\)

\(SP = \frac{7}{tg~25°}\) \(\Rightarrow\)

\(SP = \frac{7}{0,47}\) \(\Rightarrow\)

\(SP= \) \(14,9\)

- Cherchons \(TP\)
On a :
\(TP^2=ST^2+SP^2\)\(\Rightarrow\)

\(TP^2=7^2+14,9^2\)\(\Rightarrow\)

\(TP^2=49+222,01\)\(\Rightarrow\)

\(TP^2=271,01\)\(\Rightarrow\)

\(TP^2=\sqrt{271,01}\)\(\Rightarrow\)

\(TP\approx\) \(16,5\)

- Cherchons \(OS\)
On a :
\(sin~\widehat{P}=\frac{OS}{SP}\) \(\Rightarrow\)

\(sin~25° = \frac{OS}{14,9}\) \(\Rightarrow\)

\(OS = sin~25°\times14,9\) \(\Rightarrow\)

\(OS = 0,42\times14,9\) \(\Rightarrow\)

\(OS\approx \) \(6,3\)

- Cherchons \(OT\)
On a :
\(cos~\widehat{T} = \frac{OT}{ST}\) \(\Rightarrow\)

\(cos~65° = \frac{OT}{7}\) \(\Rightarrow\)

\(OT = \frac{cos~65°}{7}\)\(\Rightarrow\)

\(OT = 0,42\times7\) \(\Rightarrow\)

\(OT\approx \) \(2,9\)

- Cherchons \(OP\)
On a :
\(OP = TP-OT\) \(\Rightarrow\)

\(OP = 16,5-2,9\) \(\Rightarrow\)

\(OP= \) \(13,6\)



* 3ème ligne  :
Cherchons \(\widehat{P}\)
On a :
\(\widehat{P} = 90°-50°=\) \(40°\)

- Cherchons \(OT\)
On a :
\(tg~\widehat{T} = \frac{OS}{OT}\) \(\Rightarrow\)

\(tg~50° = \frac{9,5}{OT}\) \(\Rightarrow\)

\(OT = \frac{9,5}{tg~50°}\)\(\Rightarrow\)

\(OT = \frac{9,5}{1,19}\) \(\Rightarrow\)

\(OT\approx \) \(8\)

- Cherchons \(ST\)
On a :
\(sin~\widehat{T} = \frac{OS}{ST}\) \(\Rightarrow\)

\(sin~50° = \frac{9,5}{ST}\) \(\Rightarrow\)

\(ST = \frac{9,5}{sin~50°}\) \(\Rightarrow\)

\(OT = \frac{9,5}{0,77}\) \(\Rightarrow\)

\(ST\approx \) \(12,3\)

- Cherchons \(SP\)
On a :
\(sin~\widehat{P}=\frac{OS}{SP}\) \(\Rightarrow\)

\(sin~40° = \frac{9,5}{SP}\) \(\Rightarrow\)

\(SP = \frac{9,5}{sin~40°}\)\(\Rightarrow\)

\(SP = \frac{9,5}{0,64}\)\(\Rightarrow\)

\(SP\approx \) \(14,8\)

- Cherchons \(TP\)
On a :
\(TP^2=ST^2+SP^2\) \(\Rightarrow\)

\(TP^2=12,3^2+14,8^2\) \(\Rightarrow\)

\(TP^2=151,29+219,04\) \(\Rightarrow\)

\(TP^2=370,33\) \(\Rightarrow\)

\(TP^2=\sqrt{370,33}\) \(\Rightarrow\)

\(TP\approx \) \(19,2\)

- Cherchons \(OP\)
On a :
\(OP = TP-OT\) \(\Rightarrow\)

\(OP = 19,2-8\) \(\Rightarrow\)

\(OP= \) \(11,2\)



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