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Correction - S'auto-évaluer Vrai ou Faux page 45 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle


1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

S'auto-évaluer Vrai ou Faux page 45





Répondons par vrai ou faux :
a) \(AH = 3\).
On a d'après la théorème de Pythagore dans un triangle rectangle \(AB^2 = AH^2+BH^2\)
D'où : \(AH^2=AB^2-BH^2\)
Alors : \(AH^2=5^2-4^2=25-16=9\)
Donc : \(AH=\sqrt{9}=3\)

Conclusion: La réponse est VRAI

b) \(cos~\widehat{B}\)\(=\)\(\frac{4}{5}\).
On a : \(cos~\widehat{B}\)\(=\)\(\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}{hypténuse}\)\(=\)\(\frac{BH}{AB}\)\(=\)\(\frac{4}{5}\) Conclusion: La réponse est VRAI


c) \(sin~\widehat{B}\)\(=\)\(\frac{3}{5}\).
On a : \(sin~\widehat{B}\)\(=\)\(\frac{côté~opposé~pour~\widehat{B}}{hypténuse}\)\(=\)\(\frac{AH}{AB}\)\(=\)\(\frac{3}{5}\) Conclusion: La réponse est VRAI


d) \(tg~\widehat{B}\)\(=\)\(\frac{4}{3}\).
On a : \(tg~\widehat{B}\)\(=\)\(\frac{côté~opposé~pour~\widehat{B}}{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}\)\(=\)\(\frac{AH}{BH}\)\(=\)\(\frac{3}{4}\) Conclusion: La réponse est FAUX

e) \(AC = 5~tg~\widehat{B}\).
Cherchons \(AC\) :
On a : \(cos~\widehat{B}\)\(=\)\(\frac{BH}{AB}\)\(=\)\(\frac{AB}{BC}\)
Alors : \(\frac{BH}{AB}\)\(=\)\(\frac{AB}{BC}\)


D'où: \(BC\)\(=\)\(\frac{AB^2}{BH}\)\(=\)\(\frac{5^2}{4}\)\(=\)\(\frac{25}{4}\)

On peut maintenant trouver \(CH\)  :
\(CH=BC-BH=\)\(\frac{25}{4}\)\(-4=\)\(\frac{25}{4}\)\(-\)\(\frac{16}{4}\)\(=\)\(\frac{9}{4}\)
D'après la théorème de Pythagore on a : \(AC^2=CH^2+AH^2\)\(=\)\((\frac{9}{4})^2\)\(+\)\(3^2\)\(=\)\(\frac{81}{16}\)\(+\)\(9\)\(=\)\(\frac{81}{16}\)\(+\)\(\frac{144}{16}\)\(=\)\(\frac{225}{16}\)

D'où : \(AC=\)\(\sqrt{\frac{225}{16}}\)\(=\)\(\frac{15}{4}\)


Cherchons \(5~tg~\widehat{B}\) :

On a : \(tg~\widehat{B}=\)\(\frac{3}{4}\)


Alors : \(5~tg~\widehat{B}=\)\(5\times\frac{3}{4}\)\(=\)\(\frac{15}{4}\)

Donc : \(AC=\)\(\frac{15}{4}\)et \(5~tg~\widehat{B}=\)\(\frac{15}{4}\)

Et par la suite : \(AC = 5~tg~\widehat{B}\)

Conclusion: La réponse est VRAI 

f) \(BC = AB + AC\).
D'après e) \(BC = \)\(\frac{25}{4}\)

Cherchons \(AB+AC\) :
\(AB+AC=5+\frac{15}{4}=\frac{20}{4}+\frac{15}{4}=\frac{35}{4}\)

Donc : \(BC \neq AB + AC\)

Conclusion: La réponse est FAUX

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