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Cours - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle - 1ère année secondaire


Cours - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle - 1ère année secondaire

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Cours


1) Pythagore - Relations métriques dans un triangle rectangle :
* Théorème de Pythagore :
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) équivaut à \(BC^2=AB^2+AC^2\).






* Relations métriques dans un triangle rectangle :
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\).
\(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \(BC\).
\(AH^2=HB\times HC\), \(AB^2=BH\times BC\) et \(AC^2=CH\times CB\).

* Moyenne géométrique :
La moyenne géométrique de deux nombres \(a\) et \(b\) est \(\sqrt{a.b}\).
Exemple : La moyenne géométrique de \(2\) et \(3\) c'est \(\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}\).

Construction : \(\sqrt{ab}\).
On place \(3\) points alignés \(A\), \(H\) et \(C\) tels que \(AH=a\) et \(HC=b\), fixe le point \(M\) milieu de \([AC]\), trace le demi cercle de centre \(M\) et de rayon \(MA\).
Trace \((HB)\perp (AC)\) avec \(B\) appartenant au cercle alors \(HB=\sqrt{ab}\).


1) Rapports trigonométriques d'un angle aigu :
* Triangle rectangle :

* Cosinus :
Le cosinus d'un angle aigu \(\widehat{B}\) se note \(cos~\widehat{B}\) :

\(cos~\widehat{B}=\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}{hypténuse}=\frac{BA}{BC}\).


Le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre \(0\) et \(1\).


* Sinus :
Le sinus d'un angle aigu \(\widehat{B}\) se note \(sin~\widehat{B}\) :

\(sin~\widehat{B}=\frac{côté~opposé~pour~\widehat{B}}{hypténuse}=\frac{CA}{CB}\).


Le sinus d'un angle aigu est un nombre compris entre \(0\) et \(1\).


* Tangente :
La tangente d'un angle aigu \(\widehat{B}\) se note \(tg~\widehat{B}\) :

\(tg~\widehat{B}=\frac{côté~opposé~pour~\widehat{B}}{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}=\frac{AC}{AB}\).


* Cotangente :
La cotangente d'un angle aigu \(\widehat{B}\) se note \(cotg~\widehat{B}\) :

\(cotg~\widehat{B}=\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{B}}{côté~opposé~pour~\widehat{B}}=\frac{AB}{AC}\).


1) Relations trigonométriques :
\(tg~\widehat{B}\) \(=\) \(\frac{sin~\widehat{B}}{cos\widehat{B}}\).

\(cos^2\widehat{B}+sin^2\widehat{B}=1\)

* Angles remarquables :
* Si \(\alpha=0°\) :
\(cos~\alpha=1\) ; \(sin~\alpha=0\) ; \(tg~\alpha=0\)

* Si \(\alpha=30°\) :
\(cos~\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(sin~\alpha=\frac{1}{2}\) ; \(tg~\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(cotg~\alpha=\sqrt{3}\)

* Si \(\alpha=45°\) :
\(cos~\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(sin~\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(tg~\alpha=1\) \(cotg~\alpha=1\)

* Si \(\alpha=60°\) :
\(cos~\alpha=\frac{1}{2}\) ; \(sin~\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(tg~\alpha=\sqrt{3}\) \(cotg~\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

* Si \(\alpha=90°\) :
\(cos~\alpha=0\) ; \(sin~\alpha=1\)  \(cotg~\alpha=0\)

* Remarque :

Si \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\) sont deux angles complémentaires alors \(cos\widehat{B}=sin\widehat{C}\) et  \(sin\widehat{B}=cos\widehat{C}\).

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