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Correction - Exercice 01 page 237 - 10 - Systèmes de deux équations à deux inconnues


1ère année secondaire

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Exercice 01 page 237 - 10



Résolvons le système :

* \(\left\{\begin{matrix}
4x–y–\frac{3}{2}=0 & \\
\frac{1}{2}(y+1)–\frac{5}{12}=\frac{1}{3}(2x–1) &
\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}
4x-y=\frac{3}{2} &\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}–\frac{5}{12}=\frac{2}{3}x–\frac{1}{3} &
\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}
4x-y=\frac{3}{2} &\\
\frac{1}{2}y-\frac{2}{3}x=–\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{5}{12} &
\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}
4x-y=\frac{3}{2} &\\
\frac{6}{12}y-\frac{8}{12}x=–\frac{4}{12}-\frac{6}{12}+\frac{5}{12} &
\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}
4x-y=\frac{3}{2} &\\
\frac{6}{12}y-\frac{8}{12}x=–\frac{5}{12} &
\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}
4x-y=\frac{3}{2} &\\
\frac{6}{12}y \times(12)-\frac{8}{12}x \times(12)=–\frac{5}{12} \times(12) &
\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}
4x-y=\frac{3}{2} &\\
–8x+6y=-5 &
\end{matrix}\right.\)

On multiplie la première équation par \(6\) pour faire apparaître \(-6y\) :
On trouve \(4x \times(6)-y\times(6)=\frac{3}{2}\times(6)\)
D'où \(24x-6y=\frac{18}{2}\)
et par la suite \(-24x-6y=9\)

Le système d'équation sera :
\(\left\{\begin{matrix}
24x-6y=9 & \\
-8x+6y=-5 &
\end{matrix}\right.\)


* On additionne membre à membre on trouve :
\(24x+(-8x)-6y+(6y)=9+(-5)\) \(\Rightarrow\) \(16x=4\) \(\Rightarrow\) \(x=\frac{4}{16}\) \(\Rightarrow\) \(x=\frac{1}{4}\).

Ensuite on remplace \(x\) dans la première équation pour trouver \(y\) :
\(4x-y=\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(4(\frac{1}{4})-y=\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{4}{4}-y=\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(-y=\frac{3}{2}-\frac{2}{2}\) \(\Rightarrow\) \(-y=\frac{1}{2}\)  \(\Rightarrow\) \(y=-\frac{1}{2}\)

Et par la suite : la solution est \(S=\{\)\((\frac{1}{4}\)\(,\)\(-\frac{1}{2})\)\( \}\).

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