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Cours - Systèmes de deux équations à deux inconnues - 1ère année secondaire


Cours - Systèmes de deux équations à deux inconnues - 1ère année secondaire

1ère année secondaire 

Systèmes de deux équations à deux inconnues 

Cours 


Équations du premier degré à deux inconnues :
Une équation du 1er degré à 2 inconnues, est une équation du type \(ax+by+c=0\) dont \(a\), \(b\), \(c\) sont connus et \(x\) et \(y\) sont inconnues. 

* Méthode de résolution :
- Pour trouver des solutions d'une équation du 1er degré à 2 inconnues, on donne une valeur à l'une des inconnues pour que l'équation soit vérifiée.

- Exemple : 

Soit l'équation \(2\)\(x\)\(+3\)\(y\)\(=5\).

Si \(x=0\) :
\(2\)\(x\)\(+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(2\times\)\(0\)\(+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(y\)\(=\)\(\frac{5}{3}\)

Si \(x=2\) :
\(2\)\(x\)\(+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(2\times\)\(2\)\(+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(4+3\)\(y\)\(=5\) \(\Rightarrow\) \(3\)\(y\)\(=5-4\) \(\Rightarrow\) \(3\)\(y\)\(=1\) \(\Rightarrow\) \(y\)\(=\)\(\frac{1}{3}\)

Cette équation admet une infinité de solutions parmi les quelles \((0, \frac{5}{3})\)et \((2, \frac{1}{3})\).

* Représentation gaphique :
La représentation graphique, dans un repère d'une équation du premier degré à deux inconnues est la droite formée par tous les points dont les coordonnées sont les solutions de cette équation,

- Exemple :
La représentation graphique de l'équation précédente \(2x+3y=5\), est la droite qui passe par les points \(A(0, \frac{5}{3})\) et \(B(2, \frac{1}{3})\).



* Résolution d'un système d'équations à deux inconnues du 1er degré : 

* Résolution par calcul :
l) Méthode de substitution

Exemple:
\(\left\{\begin{array}{ll}
x+4y=20 \\
x+3y=13
\end{array}\right.\)

Pour la première équation :

On a : \(x\)\(+4\)\(y\)\(=20\) c'est à dire \(x=20-4y\).

On remplace ensuite le \(x\) dans la deuxième équation :
\({\color{Red}{x}}+3y=13\) alors \({\color{Red}{(20-4y)}}+3{\color{Blue}{y}}=13\) d'où \(-{\color{Blue}{y}}=13-20\) donc \(-{\color{Blue}{y}}=-7\) et par la suite \(y=7\).


Ensuite on remplace \(y\) de la première équation par \(7\) :

\({\color{Red}{x}}=20-4{\color{blue}{y}}\) alors \({\color{Red}{x}}=20-(4\times7)\) d'où \({\color{Red}{x}}=20-28\) donc \(x= -8\).

Conclusion : la solution est 
\(S= \left \{(-8,7) \right \}\).
2) Méthode par addition
Exemple:
\(\left\{\begin{array}{ll}
{\color{Magenta}{2}}x+4y=20 \\
{\color{Purple}{3}}x+3y=13
\end{array}\right.\)


On multiplie la première équation par \(3\) pour faire apparaître \(6x\) :
On trouve \({\color{Purple}{3}}\times2x+{\color{Purple}{3}}\times4y={\color{Purple}{3}}\times20\)
D'où \(6x+12y=60\)

* On multiplie la deuxième équation par \((-2)\)
 pour faire apparaître \(-6x\):
On trouve \({\color{Magenta}{(-2)}}\times3x+{\color{Magenta}{(-2)}}\times3y={\color{Magenta}{(-2)}}\times13\)
D'où \(-6x-6y=-26\)


Le système d'équation sera :
\(\left\{\begin{array}{ll}
{\color{Magenta}{6x+12y=60}} \\
{\color{Purple}{-6x-6y=-26}}\end{array}\right.\)


* On additionne membre à membre on trouve :
\({\color{Magenta}{6x}}+{\color{Purple}{(-6x})}+{\color{Magenta}{12y}}+{\color{Purple}{(-6y)}}={\color{Magenta}{60}}+{\color{Purple}{(-26)}}\) \(\Rightarrow\) \(6y=34\) \(\Rightarrow\) \(y=\)\(\frac{34}{6}\) \(\Rightarrow\) \(y=\)\(\frac{17}{3}\)

Ensuite on remplace \(y\) dans la première équation pour trouver \(x\) :
\(2x+4y=20\) \(\Rightarrow\) \(2x+4\times(\)\(\frac{17}{3}\)\()=20\) \(\Rightarrow\) \(2x+\)\(\frac{68}{3}\)\(=20\) \(\Rightarrow\) \(2x\)\(=20\)\(-\frac{68}{3}\) \(\Rightarrow\) \(2x\)\(=\)\(\frac{60}{3}\)\(-\frac{68}{3}\) \(\Rightarrow\) \(2x\)\(=\)\(-\frac{8}{3}\) \(\Rightarrow\) \(x\)\(=\)\(-\frac{8}{3}\)\(\times\)\(\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(x\)\(=\)\(-\frac{8}{6}\) \(\Rightarrow\) \(x\)\(=\)\(-\frac{4}{3}\)

Conclusion : la solution est \(S= \left \{(-\frac{4}{3},\frac{17}{3}) \right \}\).
3) Méthode par égalisation

Exemple :
\(\left\{\begin{array}{ll}
4x+2y=10 \\
3x+3y=12
\end{array}\right.\)


Cherchons \(y\) dans chacune des \(2\) équations :
1er équation :
\(4x+2y=10\) \(\Rightarrow\) \(2y=-4x+10\) \(\Rightarrow\) \(y=\) \(\frac{-4x+10}{2}\) \(\Rightarrow\) \(y=-2x+5\)

2er équation :
\(3x+3y=12\) \(\Rightarrow\) \(3y=-3x+12\) \(\Rightarrow\) \(y=\) \(\frac{-3x+12}{3}\) \(\Rightarrow\) \(y=-x+4\)

Le système d'équation sera
\(\left\{\begin{array}{ll}
y&=-2x+5 \\
y&=-x+4
\end{array}\right.\)

Alors \(-2x+5=-x+4\) \(\Rightarrow\) \(-2x+x=-5+4\) \(\Rightarrow\) \(-x=-1\) \(\Rightarrow\) \(x=1\)

* On remplace \(x\) par \(1\) dans une des \(2\) équations précédentes :

Pour la 1er équation :
\(y=-2x+5\) \(\Rightarrow\) \(y=(-2\times(1))+5\) \(\Rightarrow\) \(y=-2+5\) \(\Rightarrow\) \(y=3\)

Pour la 1er équation :
\(y=-x+4\) \(\Rightarrow\) \(y=(-1)+4\) \(\Rightarrow\) \(y=3\)

Conclusion : la solution est \(S= \left \{(1,3) \right \}\).

* Résolution graphique :

Pour résoudre un système d'équation graphiquement il faut représenter chacune des deux droites et étudier leurs intersection

* Si les deux droites sont strictement parallèles alors pas solution trouvée.

* Si les deux droites sont sécantes alors une seule solution trouvée.

* Si les deux droites sont confondues alors la solution c'est toute la droite.

Soit le système d'équation :
\(\left\{
\begin{array}{ll}
ax&+&by&+&c&=&0 \\
a'x&+&b'y&+&c'&=&0
\end{array}
\right.\)


Pour résoudre graphiquement ce système :

Il faut tracer la droite \(D\) la représentation graphique de l'équation \(ax+by+c=0\) et \(D'\) la représentation graphique de l'équation \(a'x+b'y+c'=0\).

Ensuite il faut lire sur le graphique les coordonnées du point commun aux deux droites et enfin écrire l'ensemble des solutions.

Important : 
On mettons les deux équations sous la forme \(y=ax+b\) on trouve : 
\(D : y=ax+b\) et \(D' : y=ax+b\).

\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{a}}x+{\color{blue}{b}} & \\
y={\color{Magenta}{a'}}x+{\color{blue}{b'}} &
\end{array}\right.\)



- Si \({\color{Magenta}{a}}\neq {\color{Magenta}{a'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites sécantes, et par la suite il n' y a qu'une seule solution unique. (c'est les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites).

Exemple : 
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{4}}x+{\color{blue}{1}} & \\
y={\color{Magenta}{2}}x-{\color{blue}{3}} &
\end{array}\right.\)


\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-2}}x+{\color{blue}{1}} & \\
y={\color{Magenta}{3}}x+{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)



- Si \({\color{Magenta}{a}}={\color{Magenta}{a'}}\) et \({\color{blue}{b}}\neq {\color{blue}{b'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites  parallèles, et par la suite il n y a pas de solution, c'est à dire \(S=\varnothing\) ou \(S=\{\}\).

Exemple : 
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-2}}x+{\color{blue}{3}} & \\
y={\color{Magenta}{-2}}x-{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)


\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{5}}x-{\color{blue}{2}} & \\
y={\color{Magenta}{5}}x+{\color{blue}{1}} &
\end{array}\right.\)



- Si \({\color{Magenta}{a}}={\color{Magenta}{a'}}\) et \({\color{blue}{b}}={\color{blue}{b'}}\) alors \(D\) et \(D'\) sont deux droites confondues, et par la suite l'ensemble des solutions est la droite \(D\) toute entière.

Exemple : 
\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{4}}x+{\color{blue}{2}} & \\
y={\color{Magenta}{\frac{8}{2}}}x+{\color{blue}{2}} &
\end{array}\right.\)


\(\left\{\begin{array}{ll}
y={\color{Magenta}{-3}}x-{\color{blue}{3}} & \\
y={\color{Magenta}{-3}}x-{\color{blue}{\frac{9}{3}}} &
\end{array}\right.\)

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