Cours

[Cours][twocolumns]

Corrigées du manuel scolaire

[Exercice manuel scolaire][twocolumns]

Séries d'exercices corrigés

[Série d'exercices corrigés][twocolumns]

Devoirs corrigés

[devoirs corrigés][twocolumns]

Articles recents

Correction - Exercice 15 page 48 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle


Correction - Exercice 15 page 48 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

Exercice 15 page 48


Soit \(ABC\) un triangle tel que les angles \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\) sont aigus.
On pose \(BC = a\), \(AB = c\) et \(AC = b\) :
Exercice 15 page 47_1

Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\).
Exercice 15 page 47_2

On se propose d'établir la relation \(b^2+c^2–2bc~cos~\widehat{A} = a^2\). :

1- Exprimons \(AH\) à l'aide de \(cos~\widehat{A}\) :

On a : \(cos~\widehat{A} = \frac{AH}{c}\) donc \(AH = c ~cos~\widehat{A}\).

2- Exprimons \(BH\) à l'aide de \(a\), \(b\) et \(AH\) :

Dans le triangle rectangle \(HBC\), et d'après Pythagore on a :
\(a^2 = BH^2+CH^2\)

Et puisque \(CH=b-AH^2\)

Alors \(a^2 = BH^2+(b-AH)^2\)

D'où \(BH = \sqrt{a^2-(b-AH)^2}\)

3- Déduisons que \(b^2+c^2–2bc~cos~\widehat{A} = a^2\).

Dans le triangle rectangle \(HAB\), et d'après Pythagore on a :
\(c^2 = BH^2+AH^2\)

D'où  \(BH = \sqrt{c^2-AH^2}\)

Et d'après la deuxième question on a trouvé que :
\(a^2 = BH^2+(b-AH)^2\) et on remplaçons \(BH\) par \( \sqrt{c^2-AH^2}\)

On trouve \(a^2 = (\sqrt{c^2-AH^2})^2+(b-AH)^2\)

Et par la suite \(a^2 = c^2-AH^2+(b^2-2.b.AH+AH^2)\)

D'où \(a^2 = b^2+c^2-2bAH)\)

D'après la première question on a trouvé que \(AH = c~cos~\widehat{A}\) et on remplaçons \(AH\) par \(c~cos~\widehat{A}\)

On trouve \(a^2 = b^2+c^2-2bc~cos~\widehat{A}\)

Aucun commentaire: