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Correction - Exercice 07 page 208 - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue




Correction - Exercice 07 page 208 - Equations et inéquations du premier degré à une inconnue


1ère année secondaire 

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue 

Exercice 07 page 208 


1- Calculons \((1–\sqrt{2})^2\).

\((1-\sqrt{2})^2\) est une identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2\times a\times b+b^2\).

D'où : \((1-\sqrt{2})^2=1^2-2\times 1\times\sqrt{2}+\sqrt{2}^2=1-2\sqrt{2}+2=3-2\sqrt{2}\)



2- En déduire la résolution de l'équation \(x^2+2x+1=3-2\sqrt{2}\).
D'après la première solution \(x^2+2x+1=3-2\sqrt{2}\) \(\Rightarrow\) \(x^2+2x+1=(1-\sqrt{2})^2\).

D'où : \(x^2+2x+1=(1-\sqrt{2})^2\) \(\Rightarrow\) 
\(x^2+2\times x \times 1+1^2=(1-\sqrt{2})^2\) \(\Rightarrow\) 
\((x+1)^2=(1-\sqrt{2})^2\) \(\Rightarrow\) 
\((x+1)^2-(1-\sqrt{2})^2=0\) (Identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)) \(\Rightarrow\) 
\(((x+1)-(1-\sqrt{2}))((x+1)+(1-\sqrt{2}))=0\) \(\Rightarrow\) 
\((x+1-1+\sqrt{2})(x+1+1-\sqrt{2})=0\) \(\Rightarrow\)
\((x+\sqrt{2})(x+2-\sqrt{2})=0\) \(\Rightarrow\) 
\(x+\sqrt{2}=0\) ou \(x+2-\sqrt{2}=0\) \(\Rightarrow\)
\(x=-\sqrt{2}\) ou \(x=-2+\sqrt{2}\) \(\Rightarrow\)

Donc \(S_\mathbb{R}=\{-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\}\).

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