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Cours - Vecteurs et translations - 1ère année secondaire


Cours - Vecteurs et translations - 1ère année secondaire

1ère année secondaire

Vecteurs et translations

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Vecteurs
• Un vecteur  \(\vec{u}\) est un objet mathématique défini par :
- une direction.
- un sens.
- une longueur.

On le représente par une flèche.
• Si on représente cette flèche à partir d'un point \(A\) (appelée origine) et qu'on note \(B\) son extrémité, donc :

- La direction du vecteur \(\vec{u}\) est celle de la droite \((AB)\).
- Le sens du vecteur \(\vec{u}\) est le sens de l'origine \(A\) vers l'extrémité \(B\).
- La longueur (appelée norme) du vecteur \(\vec{u}\) est la longueur \(AB\) du segment \([AB]\). \(\vec{u}=\vec{AB}= AB\).
- Le vecteur \(\vec{BA}\) est l'opposé du vecteur \(\vec{AB}\). \(\vec{u}= - \vec{AB}\).

• Deux points \(A\) et \(B\) pris dans cet ordre constituent le bipoint \((A,B)\) et définissent le vecteur \(\vec{AB}\).
• On peut noter le vecteur \(\vec{AB}\) avec une seule lettre par exemple \(\vec{u}\), donc \(\vec{u}=\vec{AB}\) . 

Remarque :
Si \(A = B\) alors \(\vec{AB} = \vec{AA} = \vec{BB} = \vec{0}\), on lit le vecteur nul.
• On dit que \((A, B)\) et \((C, D)\) représentent le même vecteur si \([AD]\)et \([BC]\) ont le même milieu ou encore : \(AB = CD\) équivaut à \(A * D = B * C\).
• \(AB = CD\) équivaut à \(AC = BD\).
• \(A\), \(B\) et \(C\) non alignés et \(AB\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme : attention à l'ordre des lettres.
• \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés et \(AB = CD\) alors \(AB = CD\) et \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont alignés.
• \(A\) et \(B\) deux points, \(AM = AB\) équivaut à \(M = B\).
• \(I\) le milieu de \([AB]\) signifie que \(Al = IB\).

Translations 
Définition : 
Soit \(\vec{u}\) un vecteur fixé, on appelle translation de vecteur \(\vec{u}\), qu'on note \(t_\vec{u}\), l'application du plan dans lui-mêMe qui à tout point \(M\) on associe le point \(M'\) tel que \(\vec{MM'}=\vec{u}\) 

Remarque : Si \(\vec{u}=\vec{0}\) alors \(t_\vec{0}\) = Identité du plan. 

Propriétés :
Toute translation conserve : 
* les distances : \(AB = A' B'\) 
* les mesures des angles \(\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}\) 
* l'alignement : \(A\), \(B\), \(C\) alignés alors \(A'\), \(B'\) et \(C'\) alignés 
* le milieu d'un segment : \(I = A*B\) alors \(I'= A'*B'\) 
* le parallélisme : \((AB)//(CD)\) alors \((A'B')//(C'D')\) 
* l'orthogonalité : \((AB)\perp (CD)\) alors \((A'B')\perp (C'D')\) 

L'image par une translation : 
* d'un segment est un segment.
* d'une droite est une droite parallèle.
* d'un cercle est un cercle de même rayon. \(t_\vec{u}(C_{(O,R)})\) = cercle de centre \(t_\vec{u}(O)\) et de rayon \(R\).


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