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Cours - Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires - 1ère année secondaire


Cours - Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires - 1ère année secondaire

1ère année secondaire

Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires

Cours

1. Somme de deux vecteurs
L'enchaînement d'une translation de vecteur \(\vec{u}\) et d'une translation de vecteur \(\vec{v}\) est une translation de vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\). Ce vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\) est appelé somme des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

2. Relation de Chasles
\(A\)\(B\) et \(C\) sont trois points du plan alors : \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\).

3. Opposé d'un vecteur 
Si un vecteur \(\vec{u}\) et un vecteur \(\vec{v}\) ont la même direction, la même longueur et des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on note : \(\vec{u}=-\vec{v}\) et \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}\).

4. Multiplication d'un vecteur par un réel
Soit \(\lambda\) un réel et \(\vec{u}\) un vecteur. On désigne par \(\lambda.\vec{u}\) le vecteur définie ainsi :
Cas 1 : \(\vec{u}=\vec{0}\) ou \(\lambda=0 \) alors \(\lambda.\vec{u}=\vec{0}\).

Cas 2 : \(\vec{u}\neq\vec{0}\) et \(\lambda\neq0 \), si \((A,B)\) est un représentant de \(\vec{u}\) et \((A,C)\) de \(\lambda.\vec{u}=\vec{0}\) alors \(C\) appartient à la droite \((AB)\) et \(AC=|\lambda|.AB\).

Propriétés :
Soient \(\alpha\), \(\beta\) deux réels et \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs

* \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)

* \(\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha.\vec{u}+\alpha.\vec{v}\)

* \((\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha.\vec{u}+\beta.\vec{u}\)

* \(\alpha.\vec{u}=\vec{0}\) signifie que \(\alpha=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\)

Milieu d'un segment :

Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\)

On peut écrire : 

\(\vec{IA}=-\vec{IB}\) ou \(\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}\).


Et réciproquement :

Si \(\vec{IA}=-\vec{IB}\) ou \(\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}\)  alors \(I\) est le milieu du segment \([AB]\).


Remarque :
\(A\)\(B\) et \(C\) sont trois points non alignés :
* Si \(\vec{AB}=\vec{CD}\) alors \(ABCD\) est un parallélogramme (Attention  à l'ordre des lettres).

Si \(\vec{AB}=\vec{CD}\) alors \(\vec{AC}=\vec{BD}\).


4. Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un nombre réel \(k\) tel que \(\vec{v}=k\vec{u}\) .
Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.

Remarques : Puisque le vecteur \(\vec{v}\) est non nul, alors le nombre réel \(k\) est forcément différent de \(0\). 

A retenir : Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.



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